初二数学分式方程教案 (一)
一、教学目标
1.使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.
2.通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法;
3.通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法.
2.教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验.
3.教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性.
4.解决办法：(l)分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解.(2)无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤.(3)方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)什么叫做分式方程?解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么?
(2)解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验?检验的方法是什么?
(3)解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
通过(1)、(2)、(3)的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.
2.例题讲解
例1 解方程.
分析 对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.
解：两边都乘以，得
去括号，得
整理，得
解这个方程，得
检验：把代入，所以是原方程的根.
∴ 原方程的根是.
虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学
生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中.需强调方程两边同时乘以最简公分母.另
外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解
分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调.
例2 解方程
分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是
正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所
以将方程的分母作一转化，化为按字母终行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母.
解：方程两边都乘以，约去分母，得
整理后，得
解这个方程，得
检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根.
∴ 原方程的根是
师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较.
例3 解方程.
分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分 和互为倒数，由此可设 ，则可通过换元法来解题，通过求出
y后，再求原方程的未知数的值.
解：设，那么，于是原方程变形为
两边都乘以y，得
解得
.
当时，，去分母，得
解得;
当时，，去分母整理，得
，
检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.
∴ 原方程的根是
，.
此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.
巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.
(二)总结、扩展
对于小结，教师应引导学生做出.
本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.
本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.
此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.
四、布置作业
1.教材P50中A1、2、3.
2.教材P51中B1、2
五、板书设计
探究活动1
解方程：
分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次
设，则原方程变为
∴
∴或无解
∴
经检验：是原方程的解
探究活动2
有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积.
解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4. 升，两次共倒出的农药总量(8+4· )占原来农药 ，故
整理，
(舍去)
答：桶的容积为40升.
初二数学分式方程教案 (二)
一,内容综述:
1.解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即
分式方程 整式方程
2.解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.
产生增根的原因:
当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.
检验根的方法:
将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等.
为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去.
注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公
分母为0.
用去分母法解分式方程的一般步骤:
(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(ii)解所得的整式方程;
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.
用换元法解分式方程的一般步骤:
(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数
式;
(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;
(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;
(iv)检验做答.
注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.
(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.
(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.
初二数学分式方程教案 (三)
教学目标
1.知识与技能
能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”.
2.过程与方法
经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维.
3.情感、态度与价值观
培养变量与对应的思想，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值.
重、难点与关键
1.重点：一次函数的应用.
2.难点：一次函数的应用.
3.关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维.
教学方法
采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用.
教学过程
一、范例点击，应用所学
【例5】小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y(单位：米/分)随跑步时间x(单位：分)变化的函数关系式，并画出函数图象.
y=
【例6】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少?
解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为(200-x)吨.B城运往C、D乡的肥料量分别为(240-x)吨与(60+x)吨.y与x的关系式为：y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)，即y=4x+10040(0≤x≤200).
由图象可看出：当x=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨;从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元.
拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料200吨，其他条件不变，又应怎样调运?
二、随堂练习，巩固深化
课本P119练习.
三、课堂总结，发展潜能
由学生自我评价本节课的表现.
四、布置作业，专题突破
课本P120习题14.2第9，10，11题.
板书设计
14.2.2一次函数(4)
1、一次函数的应用例：